1/ Introduction
Il existe plusieurs fonctions logarithmes:
Les plus connues sont la fonction logarithme népérien et la fonction logarithme décimal.
La première est utilisée en mathématiques et la deuxième qui permet de manipuler les puissances de 10 est surtout utilisée en sciences physiques, et plus particulièrement en chimie.
Il existe plusieurs façons d’introduire en mathématiques la notion de fonction logarithme népérien :
Une première façon est de définir cette fonction comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Une deuxième façon est de la définir comme unique primitive de la fonction inverse s’annulant en 1.
Nous choisissons dans ce cours d’introduire le logarithme népérien en tant que fonction réciproque puis nous démontrerons que la fonction ainsi définie est bien l’unique primitive de la fonction inverse s’annulant en 1.
2/ Rappels sur la fonction exponentielle
qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0.
D’un point de vue pratique,
cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi :
La fonction exponentielle, notée exp :
– est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R .
– pour tout x : exp’ (x) = exp (x)
– pour tout x : exp (x) > 0
– exp (0) = 1
Le nombre exp(1) étant noté e, (e ≈ 2,718)
la fonction exponentielle peut alors s’écrire sous la forme d’une puissance : .png){kind=small}
Tableau de variations complet de la fonction exponentielle :
La fonction exponentielle étant continue et strictement croissante sur R, d’après le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de R sur son intervalle image : ] 0 ; .png){kind=small}
[
PAGE FONCTION EXPONENTIELLE
3/ Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur l’intervalle ] 0 ;[
Cela signifie donc que tout réel x élément de ] 0 ; [ possède un unique antécédent y dans R par la fonction exponentielle.
Cet antécédent est noté : lnx , ce qui se lit « L »« N » de x
On fabrique ainsi la fonction réciproque de la fonction exponentielle, notée ln et appelée fonction logarithme népérien qui est définie sur ] 0 ; [ et à valeurs dans R.Remarques :
1) On notera ln(2) sans parenthèses : ln 2 , mais on conservera la notation avec parenthèses propre aux fonctions pour ln(-3) par exemple.
2) La notation « ln » est donnée par les initiales de l’expression : « Logarithme Népérien ».
4/ Valeurs de référence
Utilisons la définition du logarithme népérien pour trouver les images de 1 et de e :
exp (0) = 1 Donc : ln 1 = 0
De même :
exp (1) = e Donc : ln e = 1
5/ Ecriture exponentielle
si y = ln x,
par définition, y est l’antécédent de x par la fonction exponentielle,
donc y vérifie : exp (y) = x
Autrement dit : exp (ln x) = x
D’où, pour tout x > 0 : eln x = x
Ce qui d’un point de vue pratique signifie que tout réel x strictement positif,
peut s’écrire : x = eln x
6/ Ecriture logarithmique
si ln x = y ,
par définition, y est l’antécédent de x par la fonction exponentielle,
donc x vérifie : x = exp (y)
Autrement dit : ln (exp (y)) = y
D’où, pour tout réel y : ln ey = y
Ce qui d’un point de vue pratique signifie que tout réel y,
peut s’écrire : y = ln ey
7/ Bilan pratique sur la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ] 0 ; .png){kind=small}
[
| La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ] 0 ; [ |
Un réel négatif ou nul ne possède donc pas d’image par la fonction logarithme.
| La fonction logarithme népérien est à valeurs dans R. |
| La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : |
 Pour tout x > 0 : y = ln x ⇔ x = ey |
Pour tout réel x > 0 : elnx = x
Autrement dit, tout nombre réel x > 0 possède une écriture exponentielle : x = elnx
Attention !
Les deux égalités ne sont donc pas toutes les deux vraies pour tout réel.
Une telle écriture est impossible pour x < 0 car alors le nombre lnx n’existe pas.
Pour tout réel y : ln ey = y
Autrement dit, tout nombre réel y possède une écriture logarithmique : y = ln ey
Pour cette dernière propriété, nous utilisons la variable y pour cadrer avec notre schéma mais on peut également énoncer ce résultat sous la forme : pour tout réel x : x = ln ex
8/ Propriétés algébriques du logarithme népérien
9/ Résolution d’équations
- Quels que soient a et b réels strictement positifs : ln a = ln b ⇔ a = b
10/ Résolution d’inéquations
- Quels que soient a et b réels strictement positifs : ln a < ln b ⇔ a < b
11/ Dérivée de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue, dérivable et strictement croissante sur R
La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; [ et pour tout x > 0 : 
De plus : ln1 = 0.
On retrouve donc bien que :
la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse qui s’annule en 1.
Remarque :
Tout ceci est cohérent puisque la fonction inverse étant strictement positive sur ] 0 ; [, on retrouve que la fonction ln est strictement croissante sur ce même intervalle.