Fonction Exponentielle

1/ Définition de la fonction exponentielle

Théorème de la fonction exponentielle:
Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel : f ‘ (x) = f (x) et f (0) = 1

Définition :
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp.
La dénomination « exponentielle » donnée à cette fonction a la même racine que le mot exposant, nous verrons plus loin pourquoi.

Remarques :
1)   La démonstration du théorème est admise.
( On trouvera dans la plupart des livres de terminale, la démonstration de l’unicité. )

2)   La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée elle-même et qui prenne la valeur 1 en 0.

3)  k étant réel, toute fonction du type :  g (x) = k x exp (x)  a pour dérivée elle-même.
4)   La fonction exponentielle est dérivable sur R donc continue sur R.

Propriété de la fonction exponentielle: ( admise )
Pour tout x de R : exp (x)  > 0
La fonction exponentielle est strictement positive sur R.

Conséquence :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

En résumé :
La fonction exponentielle, notée exp :
– est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
– pour tout x : exp’ (x) = exp (x)
– pour tout x :  exp(x) > 0
– exp (0) = 1

 

2/ Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

  • exp(a) x exp(b) = exp(a+b)
  • exp(a) / exp(b) = exp(a-b)
  • exp(-a) = 1 / exp(a)
  • exp(a)^b = exp(a x b)

 

3/ Équations de la fonction exponentielle

  • Quels que soient a et b réels : exp(a) = exp(b) ⇔ a = b
  • Quel que soit a réel : exp (a) = 1 ⇔ exp (a) = exp (0) ⇔ a = 0

D’autres équations seront possibles après avoir étudié le chapitre Fonction Logarithme Népérien

 

4/ Inéquations de la fonction exponentielle

  • Quels que soient a et b réels : exp (a) < exp (b) ⇔ a < b
  • Quel que soit le réel a : exp (a) < 1 ⇔ exp (a) < exp (0) ⇔ a < 0

D’autres inéquations seront possibles après avoir étudié le chapitre Fonction Logarithme Népérien

5/ Notation puissance de la fonction exponentielle

Le nombre exp(1) est noté e.
Une valeur approchée de e est : e ≈  2,718

On a alors pour tout n entier naturel :  exp(n) = exp (n x 1) = (exp (1))n

Et l’exponentielle de tout entier naturel peut donc être notée sous la forme d’une puissance : exp (n) = e^n

Cette remarque étant faite sur les naturels, on décide d’étendre cette notation puissance à tous les réels :

Pour tout x réel, exp(x) peut maintenant être notée :  exp (x) = e^x

 

6/ Dérivée de la fonction exponentielle

Nous avons vu au début de ce chapitre, que la fonction exponentielle était la seule fonction qui était égale à sa dérivée :

Donc si f(x) = e^x alors la dérivée f'(x) = e^x.

Néanmoins nous étudierons des fonctions exponentielles diverses du type e^u(x):

Soit une fonction dérivable sur un intervalle I, et la fonction f(x) = e^u(x)

Alors la dérivée f′(x) = u′(x) . e^u(x)

 

7/ Limites de la fonction exponentielle

Étude asymptotique:

2 limites

 

exp(x)/x en +inf

lim -inf de x exp(x)

Par abus de langage, on dira que la fonction exponentielle « croit » plus vite que les fonctions du type x^n .

VOIR LES EXERCICES SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE