Continuité

Nous allons étudier dans ce chapitre, la notion de continuité, une nouvelle fonction un peu particulière, et nous conclurons sur le but de ce chapitre, à savoir le théorème des valeurs intermédiaires.

 

1. Comment reconnaît-on une fonction continue ?

• Graphiquement, on peut dire qu’une fonction est continue lorsque l’on peut parcourir sa courbe représentative sans lever le crayon.
• Pratiquement, une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie pour tout réel a de cet intervalle et si : \mathop {\lim}\limits_{x \to a }\,f(x)=f(a).
• Ainsi, la fonction f représentée ci-dessous et définie sur [0 ; 5] n’est pas continue en 3 car \mathop {\lim}\limits_{x \to 3^{-} }\,f(x)=2 et \mathop {\lim}\limits_{x \to 3^{+} }\,f(x)=f(3)=1 (les limites à gauche et à droite de la valeur 3 sont différentes).
 

Continuité et dérivation - illustration 1

 

2. Qu’est-ce que la fonction partie entière ?

C’est l’occasion de découvrir une fonction qui n’est pas continue : la fonction partie entière notée E(x)

• La fonction partie entière associe à chaque nombre positif sa partie entière, située à gauche de la virgule. On la note :x\mapsto{E(x)}.
Plus généralement, si x est encadré par deux entiers relatifs consécutifs n et n + 1, la fonction partie entière est définie par E(x) = n avec n\leq{x}<{n+1}.
Ainsi :
E(2,5) = 2 ; E(2) = 2 ; E(−2,5) = −3  car -3\leq{-2,5}<{-2} ; E(−3) = −3.
• Sa représentation graphique est une celle d’une fonction constante par intervalles (ou fonction en escalier).
 

Continuité et dérivation - illustration 2
On peut remarquer que : \mathop {\lim}\limits_{x \to 3^{-} }\,E(x)=2 et \mathop {\lim}\limits_{x \to 3^{+} }\,E(x)=E(3)=3.
Les limites à gauche et à droite de 3 étant différentes, la fonction partie entière n’est pas continue en 3. Il en est de même pour toutes les valeurs entières.

 

3. Une fonction continue est-elle toujours dérivable ? Une fonction dérivable est-elle toujours continue ?

• Une fonction f est dérivable en a lorsque l’on peut définir le nombre dérivé : (notion définie en première)
f^{\prime}(a)=\mathop {\lim}\limits_{h \to 0 }\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Continuité et dérivation - illustration 3
D’où : \mathop {\lim}\limits_{h \to 0 }\,f(a+h)=\mathop {\lim}\limits_{h \to 0 }\,f(a)+hf^{\prime}(a)=f(a).
Donc f est continue en a.
Plus généralement, si une fonction est dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle.
• Attention, la réciproque est fausse. Une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable.

4. Continuité de fonctions de référence

Fonctions de référence :
* Les fonctions affines, polynômes, trigonométriques et valeur absolue sont continues sur R.
* Les fonctions rationnelles ( quotient de deux polynômes ) sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
* La fonction racine est continue sur  ] 0 ; +∞ [

Et grâce aux propriétés qui suivent on peut s’appuyer sur la continuité de ces fonctions pour en déduire la continuité d’autres, en effet :

Toute somme, différence ou produit de fonctions continues sur I est continue sur I.

Le quotient u/v est continue sur I, si u et v sont continues sur I et si v ne s’annule pas sur I.

Remarque:
Si f est continue sur un intervalle I alors f est continue sur tout intervalle inclus dans I.

 

5. Théorème des valeurs intermédiaires

Maintenant que nous connaissons la notion de continuité, nous allons pouvoir étudier la dernière notion de ce chapitre, à savoir le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

• Le théorème des valeurs intermédiaires s’énonce ainsi :

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I ;

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires - illustration 3

• Ce théorème a pour corollaire : si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors, pour tout réel k de l’intervalle J = f(I), l’équation f(x) = k admet une unique solution dans I.

Note: Ce théorème sera très souvent utilisé lors de l’étude de fonctions, notamment avec l’équation f(x)=0 car il permettra ainsi d’étudier le signe de la fonction étudiée.