Convexité

1. Fonction convexe – Fonction concave

Définition

Soient f(x) une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative.

  • On dit que f est convexe sur I si la courbe Cf est au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle I
  • On dit que f est concave sur I si la courbe Cf est au-dessous de toutes ses tangentes sur l’intervalle I

Exemple:

 

Théorème 1

Si f est dérivable sur I :

  • f est convexe sur si et seulement si f′ est croissante sur I
  • f est concave sur I si et seulement si f′ est décroissante sur I

Remarque

L’étude de la convexité se ramène donc à l’étude des variations de f′.

Si est dérivable, on est amené a étudier le signe la dérivée de . Cette dérivée s’appelle la dérivée seconde de f et se note f′′

Théorème 2

Si f est dérivable sur et si est dérivable sur I (on dit aussi que f est 2 fois dérivable sur I) :

  • f est convexe sur I si et seulement si f′′ est positive ou nulle sur I
  • f est concave sur I si et seulement si f′′ est négative ou nulle sur I

2. Point d’inflexion

Définition

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I, Cf sa courbe représentative et A(a;f(a)) un point de la courbe Cf.
On dit que A est un point d’inflexion de la courbe Cf, si et seulement si la courbe traverse sa tangente en A.

Propriété

Si est un point d’inflexion d’abscisse a, f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en a.

Théorème 3

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de courbe représentative Cf.

Le point A d’abscisse a est un point d’inflexion de Cf si et seulement si f′′ s’annule et change de signe en a.