1/ Définition de la fonction exponentielle
Théorème de la fonction exponentielle:
Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel : f ‘ (x) = f (x) et f (0) = 1
Définition :
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp.
La dénomination « exponentielle » donnée à cette fonction a la même racine que le mot exposant, nous verrons plus loin pourquoi.
Remarques :
1) La démonstration du théorème est admise.
( On trouvera dans la plupart des livres de terminale, la démonstration de l’unicité. )
2) La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée elle-même et qui prenne la valeur 1 en 0.
3) k étant réel, toute fonction du type : g (x) = k x exp (x) a pour dérivée elle-même.
4) La fonction exponentielle est dérivable sur R donc continue sur R.
Propriété de la fonction exponentielle: ( admise )
Pour tout x de R : exp (x) > 0
La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
Conséquence :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
En résumé :
La fonction exponentielle, notée exp :
– est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
– pour tout x : exp’ (x) = exp (x)
– pour tout x : exp(x) > 0
– exp (0) = 1
2/ Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
- exp(a) x exp(b) = exp(a+b)
- exp(a) / exp(b) = exp(a-b)
- exp(-a) = 1 / exp(a)
- exp(a)^b = exp(a x b)
3/ Équations de la fonction exponentielle
- Quels que soient a et b réels : exp(a) = exp(b) ⇔ a = b
- Quel que soit a réel : exp (a) = 1 ⇔ exp (a) = exp (0) ⇔ a = 0
D’autres équations seront possibles après avoir étudié le chapitre Fonction Logarithme Népérien
4/ Inéquations de la fonction exponentielle
- Quels que soient a et b réels : exp (a) < exp (b) ⇔ a < b
- Quel que soit le réel a : exp (a) < 1 ⇔ exp (a) < exp (0) ⇔ a < 0
D’autres inéquations seront possibles après avoir étudié le chapitre Fonction Logarithme Népérien
5/ Notation puissance de la fonction exponentielle
Le nombre exp(1) est noté e.
Une valeur approchée de e est : e ≈ 2,718
On a alors pour tout n entier naturel : exp(n) = exp (n x 1) = (exp (1))n
Et l’exponentielle de tout entier naturel peut donc être notée sous la forme d’une puissance : exp (n) = e^n
Cette remarque étant faite sur les naturels, on décide d’étendre cette notation puissance à tous les réels :
Pour tout x réel, exp(x) peut maintenant être notée : exp (x) = e^x
6/ Dérivée de la fonction exponentielle
Nous avons vu au début de ce chapitre, que la fonction exponentielle était la seule fonction qui était égale à sa dérivée :
Donc si f(x) = e^x alors la dérivée f'(x) = e^x.
Néanmoins nous étudierons des fonctions exponentielles diverses du type e^u(x):
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I, et la fonction f(x) = e^u(x)
Alors la dérivée f′(x) = u′(x) . e^u(x)
7/ Limites de la fonction exponentielle
Étude asymptotique:
Par abus de langage, on dira que la fonction exponentielle « croit » plus vite que les fonctions du type x^n .